- Eso no es justo –propuso el segundo clasificado-, puesto que no ha alcanzado el número de 10 victorias.
“La decisión más justa –propuso-, sería repartir el premio de forma proporcional a las partidas ganadas: si dividimos el premio por el número de partidas jugadas, fácilmente puede hacerse un reparto de forma proporcional”. Es decir, cuatro jugadores a 1 mvd por jugador y 10 partidas jugadas hacen 40 mvd en total (4 mvd de incremento en el bote por partida). El pasajero que ganó 6 (que a partir de ahora llamaremos p6), se llevaría 24 mvds, el que ganó 3 (p3) 12 mvds, el que ganó sólo 1 (p1) 4 mvds… y el que no ganó ninguna (p0), pues nada. Parece justo, ¿no?...
- Bueno –se oyó de pronto en la fonda-, esa no es precisamente la mejor forma de hacer justicia.
Los sorprendidos jugadores en el momento de oir la voz misteriosa
Todos se volvieron hacia el individuo de hablar calmoso y aire distraído, a la sazón, un insigne matemático que casualmente compartía viaje con los jugadores. De todos es sabida la costumbre de los hombres de ciencia, y en especial de los matemáticos, de tirar por tierra cualquier verdad irrefutable y “científicamente demostrada” que corre de boca en boca, haciendo, además, uso de los más estrafalarios e incomprensibles argumentos. Mala gente, vaya.
- Si queremos ser justos –continuó por encima del estupor general-, sin duda hay que considerar el estado actual del marcador, pero el bote debería repartirse teniendo en cuenta también los resultados futuros.
- Nadie puede saber los resultados futuros –repuso inmediatamente p6 oliéndose un nuevo recorte en sus ganancias.
- De haber continuado la partida, podría haber ganado –manifestó p3, no perdiendo la oportunidad de arrimar un poco el ascua a su sardina-, me encontraba en racha.
- A mi me gustaría comprobar antes las cartas –opinó p1 lanzando sospechosas miradas al mazo y a los presentes-. En alguna partida no me han acabado de salir las cuentas…
- … ¿Eh?... –pensó p0, cuyos conocimientos de matemáticas y del juego de cartas vivían en el mismo piso.
- ¿Suben ya los caballeros, o prefieren esperarse a la diligencia de San Fernando? –preguntó el cochero algo amoscado con la demora.
Mientras los jugadores deliberaban, un grupo de viajeras esperaba
pacientemente reanudar el camino rezando el rosario.
El matemático permaneció pensativo y concentrado, con los ojos cerrados ante la atenta mirada del resto.
- Ciertamente no podemos predecir el futuro, pero si podemos determinar qué posibilidades existen partiendo del presente, ¿no es cierto? –dijo por fin abriendo los ojos para alivio de los jugadores, que temían quedarse en ascuas el resto del camino si se dormía.
- Mmmm… podría ser –asintió p6 prudente.
- Que acabe ganando el segundo entra dentro de lo posible –apostilló machacón p3-, ciertamente hay que tenerlo en cuenta.
- Puestos a considerar, las trampas entran también dentro de lo posible –opinó el cada vez más receloso p1.
- Mmmm… pssssf -volvió a pensar el astuto p0.
- Como todos ustedes saben –prosiguió el matemático, totalmente ajeno a los esfuerzos mentales de p0-, para abordar un problema complejo podemos partir de una simplificación, e ir añadiendo complejidad progresivamente para ver cómo se comporta nuestro sistema.
El matemático hizo una pequeña pausa esperando obtener una aprobación, pero volvió rápidamente a hablar al ver las caras inexpresivas de los jugadores.
- Para simplificar, supongamos que el juego consiste en lanzar una moneda y que únicamente hay dos jugadores. Cada uno elige cara o cruz y gana el que acierte –sacó un cuaderno de su maleta y se puso a garabatear un esquema-. Supongamos ahora que se juega a ver quien acierta tres veces y que la partida se ha interrumpido con un bote de 64 mvds, habiendo salido dos veces cara (gana el jugador A) y una vez cruz (gana el jugador B). ¿Cómo repartiremos el premio?
- El jugador A debería quedarse con el premio –insistió p6 severo.
- Podrían haber salido dos cruces seguidas si hubiera dado tiempo –afirmó rápidamente p3-, pasa a menudo cuando se está en racha, como yo.
- ¿Alguien comprobó antes la moneda con la que se estaba jugando? –preguntó p1 con el ceño fruncido-. Eso es importante.
- La mnneda… ¿Impftrrrloor? –dijo tímidamente p0, en un esfuerzo por parecer inteligente.
- De continuar la partida –prosiguió el matemático tras lanzar una breve mirada al cielo- las posibilidades serian: que salga cara (el jugador A se lleva los 64 mvds) o que salga cruz, con lo que empatan a victorias y hay que volver a tirar para desempatar. Hasta ahora tenemos dos posibilidades, una favorable a A (1/2) y otra a empatar (1/2). Definiremos la probabilidad de un suceso como el número de casos favorables partido por el número de casos posibles. Así, la probabilidad de que salga cara o cruz será ½. Al volver a lanzar volveremos a tener dos posibilidades, una favorable a A y otra a B, por lo que ese ½ lo tendremos que dividir en dos: ¼ para A y ¼ para B. Dicho de otra forma, será el producto de multiplicar ½ por cada vez que tiremos.
Enseñó el esquema que había dibujado y prosiguió la explicación:
El misterioso primer esquema
- … es decir, que tenemos ½ + ¼ = ¾ de posibilidades de que gane A y sólo ¼ de que gane B. Por tanto, el premio se debería repartir de la siguiente forma: 48 mvds para A (64 * ¾ = 48) y 16 mvds para B (64 * ¼ = 16), si tenemos en cuenta lo que puede pasar partiendo de la situación al interrumpirse el juego. ¿Me siguen?
Estaba claro que le seguían porque no se podían bajar en marcha, pero la curiosidad por saber el desenlace podía más que las ganas de echar al matemático por la ventana… al menos por el momento.
- Ahora complicaremos un poco el sistema. Supongamos que en lugar de 3 son 4 las veces que ha de salir cara o cruz. El esquema de situaciones posibles comparado con el caso anterior es el siguiente:
El un poco menos misterioso segundo esquema
- Si sumamos los casos en que gana A obtenemos 11/16, mientras que a favor de B tenemos 5/16, por lo que el reparto quedaría 44 mvds para A y 20 para B –dejó unos segundos para que pudieran mirar a placer el esquema, tras lo cual preguntó-. ¿Qué diferencias pueden observarse entre ambas situaciones?
- El que iba ganando ha perdido 4 mvds –respondió p6 enfurruñado-. Es totalmente injusto.
- El que iba perdiendo se está acercando al que iba ganando –se apresuró a corroborar p3.
- Cada vez es más complicado, a uno se le quitan las ganas de jugar ¿dónde está el truco? –opinó p1 desdeñoso.
- Gggffffflll… -bostezó p0 apoyado en la ventanilla.
- Bueno -se resignó por fin el matemático, intuyendo que sería un poco más complicado de lo que pensaba-, lo primero que se puede observar es que el valor que asignamos a cada recorrido es el resultado de multiplicar ½ por cada tirada que efectuamos, tal y como ya expliqué. Eso es debido a que cada vez que tiramos la moneda se considera un suceso no influenciado por lo que pasó antes. Es decir, que el resultado es independiente de la tirada anterior. En estos casos se dice que la probabilidad de que pase algo habiendo pasado otra cosa previamente, si son independientes, es el producto de las probabilidades de cada suceso por separado. Es decir p(A/B) = p(A)*p(B).
“Otra cosa que se observa es que el número de tiradas máximo que se necesitan para acabar la partida pasa de 2 a 4. Y otra cosa interesante desde el punto de vista práctico es, por supuesto, que las cantidades a percibir van variando. En concreto, al aumentar los aciertos necesarios para ganar, aumenta la probabilidad de que el que parte con desventaja pueda ganar”
Esta última parte pareció despertar el interés de los jugadores, aunque por diferentes motivos.
- Si comparamos ahora las distintas opciones –prosiguió el matemático-, A se hubiera llevado los 64 mvds de haber dado el bote al que iba ganado, mientras que de aplicarse el criterio de la proporcionalidad, A (2 partidas ganadas de 3) su ganancia se habría limitado a sólo 42,7 mvds (64 * 2/3). Por el contrario, B hubiera pasado de percibir 0 mvds a llevarse 21,3 mvds (64 * 1/3).
- ¡Ya decía yo que era injusto! –exclamó p6 indignado.
- Si añadimos ahora la opción de considerar la probabilidad de ganar de cada uno, el reparto sería de 48 para A y 16 para B, pero… sólo con aumentar en uno el número de partidas necesario para ganar, vemos que la probabilidad de que A gane se reduce de ¾ a 11/16 (o lo que es lo mismo, de 12/16 a 11/16), mientras que B aumenta en la misma proporción, y las cantidades quedarían 44 mvds para A y 20 mvds para B.
- ¡Es lo que yo decía, si te dejan tiempo y estás en racha…! –exclamó p3 victorioso.
- Si calculamos ahora las probabilidades volviendo a aumentar en uno el número de partidas necesario para ganar –dijo el matemático atajando la euforia de p3, y volviendo a garabatear en el cuaderno-, vemos que el número máximo de partidas que faltan pasa de 4 a 6, y que las probabilidades cambian a 42/64 para A y 22/64 para B, lo que supondría un reparto de 42 mvds para A y 22 para B. Así, el resultado sería similar al reparto según las proporciones.
(Continuará)
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